Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и
. Если задан закон ,
ставящий в соответствие каждому точку (или точки) ,
то говорят, что на множестве задана функция комплексной
переменнойсо значениями в множестве . Обозначают это
следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает
множество в множество .)
Задание функции эквивалентно заданию двух
действительных функций и тогда ,
где , . Как и в обычном
анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные
функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. - линейная
функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную
плоскость на полную комплексную плоскость .
Функция и обратная ей -
однозначны. Функция поворачивает плоскость на
угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз
и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину .
Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. . Определена на всей комплексной
плоскости, причем , . Однозначна,
непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает
полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость ,
причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же
окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в
точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. - показательная функция. По
определению , т.е. , ,
. Из определения вытекают формулы
Эйлера:
; ;
;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична
с периодом . Отображает каждую полосу,
параллельную оси , шириной в
плоскости в полную комплексную плоскость .
Из свойств отметим простейшие: ,
4. - логарифмическая функция (натуральный
логарифм). По определению: . Выражение
называется
главным значением , так что .
Определен для всех комплексных чисел, кроме . -
бесконечно-значная функция, обратная к . ,
5. - общая
показательная функция. По определению, . Определена для всех
, ее главное значение ,
бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции ;;;
По определению, ; ;
;
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же
функциями действительной переменной, а именно:
,
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: ,
, , ,
Решение. По определению, ,,
; если , то очевидно, ,
,
, ,
, ,
,
, , ,
Найти суммы:
1)
2)
Решение. Пусть: ,
а
. Умножим вторую строчку на ,
сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:
; Преобразуя, получим:
,
3. Доказать, что: 1) 2)
3)
4)
Доказательство:
1) По определению,
2)
3) ;
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного
аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ;
2) ; 3) ;
Решение: и, учитывая результаты
предыдущего примера, получим:
, , ,
Напомним, что
2)
, ,
3)
, ,
,
.
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; ;
; ;
;
Вычислить: 1) ;
3) ;
5) ;
2) ; 4) ;
6) ;
Решение. По определению, ,
1),
,
,
2) ,
,
,
3) ,
,
,
4), ,
,
5), , ,
6), ,
,
Найти все значения следующих степеней:
1) ;
2) ;
3)
; 4);
Решение. Выражение для любых
комплексных и определяются
формулой
1)
2)
3)
4) .
8. Доказать следующие равенства:
1) ;
2) ;
3)
Доказательство: 1) , если ,
или , откуда ,
или .
Решив это уравнение, получим , т.е. и
2) , если ,
откуда , или , следовательно,
,
3) , если , откуда
, или
.
Отсюда , следовательно,
На правах рекламы:
Подарок Массаж на выбор - китайский массаж. Как делать бизнес в тапочках?
